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控制理論與應(yīng)用輸入力矩受限的機(jī)器人魯棒自適應(yīng)跟蹤控制黃春慶h2，王興貴2，王祖光2（1.上海交通大學(xué)自動(dòng)化系，上海20030；2.軍械工程學(xué)院一系火炮教研室，河北石家莊，050003）實(shí)值時(shí)，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定跟蹤；當(dāng)有干擾存在，常規(guī)參數(shù)估計(jì)自適應(yīng)控制算法不能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制時(shí)，本算法仍然使系統(tǒng)穩(wěn)定。在本算法中，所估計(jì)的參數(shù)在跟蹤控制律前饋項(xiàng)中表現(xiàn)為非線性，這是區(qū)別于常規(guī)參數(shù)估計(jì)自適應(yīng)算法的一個(gè)最重要特征。因此本算法控制器的設(shè)計(jì)更有靈活性，另一方面獲得更好的控制品質(zhì)和魯棒性，特別是對參數(shù)域估計(jì)誤差即參數(shù)范圍估計(jì)錯(cuò)誤的強(qiáng)魯棒性，均為仿真算例所驗(yàn)證。

基金項(xiàng)目：教育部高校青年骨干教師基金資助項(xiàng)目。

迄今為止，幾乎所有控制器設(shè)計(jì)都建立在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器能產(chǎn)生任意力矩的基礎(chǔ)上；而實(shí)際上受物理?xiàng)l件限制，驅(qū)動(dòng)器的輸出力矩是有限的，這樣的控制器可能導(dǎo)致控制失敗或控制品質(zhì)的惡化。因此控制器的設(shè)計(jì)必須考慮到關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的有限驅(qū)動(dòng)能力。

對于諸如搬運(yùn)作業(yè)的機(jī)器人，有些參數(shù)是不確定或者不可知的，基于估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)控制是處理此類問題的主要控制策略之利用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的線性參數(shù)化性質(zhì)，通過一個(gè)積分運(yùn)算估計(jì)機(jī)器人參數(shù)。由于積分環(huán)節(jié)的作用，在持續(xù)干擾條件下，控制系統(tǒng)不容易穩(wěn)定。因此適當(dāng)限制或調(diào)整積分環(huán)節(jié)的作用是實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)有效手段。最早由lozano和brogliato提出投影算法（proectionalgorithm），能夠把估計(jì)參數(shù)限制在所規(guī)定的范圍（包含參數(shù)真實(shí)值）內(nèi)，從而提高了自適應(yīng)控制系統(tǒng)的魯棒性。但這種算法由6個(gè)開關(guān)組成，略嫌復(fù)雜，而且當(dāng)真實(shí)參數(shù)不在所規(guī)定的范圍內(nèi)時(shí)，它不能給出系統(tǒng)控制品質(zhì)及魯棒性等信息?？紤]關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的有限驅(qū)動(dòng)力矩的定點(diǎn)控制（setpointcontrol）問題，利用投影算法，研究了基于精確數(shù)學(xué)模型的全局狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制器；而對于軌跡跟蹤問題，研究了未知參數(shù)情況下全狀態(tài)反饋（full-statefeedback）的自適應(yīng)控制問題和基于精確模型的輸出反饋（outputfeedback）的自適應(yīng)控制問題。

本文提出一種簡單的魯棒自適應(yīng)控制算法，當(dāng)估計(jì)參數(shù)域包含參數(shù)真實(shí)值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定跟蹤；當(dāng)存在干擾或估計(jì)參數(shù)域不包含參數(shù)真實(shí)值即有估計(jì)誤差時(shí)，系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的。

質(zhì)，利用這些性質(zhì)改進(jìn)控制律，提高實(shí)時(shí)性。

數(shù)向量t；）的集合及參數(shù)集并滿足下列條件其中xgi.丨表示絕對值。為簡單起見，假設(shè)即函數(shù)向量由3個(gè)標(biāo)at參數(shù)決定，仍記為。z（m，￡，0，這是中所介紹的一個(gè)函數(shù)集。連續(xù)可導(dǎo)遞增函數(shù)如arimoto正弦函數(shù)、正切雙曲函數(shù)、歸一化函數(shù)和飽和函數(shù)等。

2.2關(guān)于機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程（robotdynamics）不考慮摩擦和外加干擾，"個(gè)回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為4）々，（；（<）和re"分別表示離心科氏力、重力和控制輸人。

本文僅考慮回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人系統(tǒng)，具有如下幾個(gè)特性：其中丨（amhl）表示最?。ㄗ畲螅┚仃囂卣髦担琸iv是一個(gè)正的常數(shù)。

或p3）對于所有的rw，。t，y，znbsp，存在正的常數(shù)n，c2，使得p5）存在連續(xù)可導(dǎo)的遞增函數(shù)向m其中sn，使得其中關(guān)節(jié)角誤差=，心表tt；期望關(guān)節(jié)軌跡，均為正的常數(shù)，為正定的對角矩陣，m，c（-，），（t是已知參數(shù)0的動(dòng)力學(xué)方程部分；向量satd（幻如所示，以。）及以）為連續(xù)可導(dǎo)的遞增函數(shù)向量，bp其中定常向量tt使得外gs，e卩（近似為）注2可以看出，設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)控制器時(shí)，適當(dāng)選擇式（23）中的參數(shù)7t的前提條件是參數(shù)的估計(jì)域s，也就是參數(shù)知的大致變化范圍。

從式（20），（23）看出，初始參數(shù)d（0）可以是任意的。不妨選擇；r=以0），因?yàn)橥ǔＵJ(rèn)為初始參數(shù)d在其真實(shí)值知附近的一個(gè)鄰域。只要（叫）；（￡9），足夠大，總能讓e s成立當(dāng)（叫），―時(shí)，等同于普通自適應(yīng)控制算法。為表述方便，假定kp=kpi，kv利用性質(zhì)p6），控制律（19）可寫為r=得到閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程mq）q其中由于是連續(xù)可導(dǎo)遞增函數(shù)向量，可見屮也是；但平（幻可能不滿足定義中所有的條件，除非兀在不等式（25）的條件下，存在一正定的標(biāo)量函數(shù)使得同樣地，定義另一正定標(biāo)量函數(shù)：顯然定理考慮機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程（1），假設(shè)存在正的常數(shù)a，y，常向量；r及函數(shù)向量s（w，以），正定的條件是4ac - >0那么條件②意味著綜上所述，由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及l(fā)asalk‘不變集原理，定理得證。

注3控制力矩的上界為simubbbb工具箱，將魯棒自適應(yīng)算法與常規(guī)自適=9）的結(jié)果在干擾存在的情況。下進(jìn)行比較；另外還比較魯棒自適應(yīng)算法中的兩個(gè)不注意：在估計(jì)參數(shù)域包含真實(shí)參數(shù)值時(shí)，雖然投影算法也能保證估計(jì)參數(shù)的有界性；但是，當(dāng)上述條件未滿足時(shí)，就得不到有關(guān)閉環(huán)系統(tǒng)的如穩(wěn)定性、魯棒性信息。另外該算法由6個(gè)開關(guān)組成，顯得復(fù)雜。本文的算法很簡單，最簡單的是應(yīng)用飽和函數(shù)。當(dāng)札e s時(shí)，可把動(dòng)力學(xué)方程看作其中d0u）=（々，4，g）（0-0丨），空專0丨名。也就是說把參數(shù)估計(jì)域的誤差當(dāng)作一個(gè)干擾辦（。適當(dāng)?shù)卣刂破鞯膮?shù)，魯棒自適應(yīng)控制器仍然使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，雖然并非漸近穩(wěn)定的。

或=0，并非=札。

由魯棒自適應(yīng)控制律（19），可見，估計(jì)參數(shù)奴在前饋項(xiàng)中表現(xiàn)為非線性的，這正是與常規(guī)自適應(yīng)算法的最重要的區(qū)別。因此，式（20）中所估計(jì)的參數(shù)，對閉環(huán)系統(tǒng)來說，其本質(zhì)上不再是一個(gè)參數(shù)，超出參數(shù)辨識自適應(yīng)算法的概念。函數(shù)向量sats）的不同選擇，體現(xiàn)了魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)施的靈活性，使系統(tǒng)的控制品質(zhì)和魯棒性的提高成為可能。

本算例是兩關(guān)節(jié)機(jī)器人搬運(yùn)物體，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)對正弦-余弦（頻率。7=1hz，幅值4=2rad）軌跡的跟蹤控制。機(jī)器人如，其參數(shù)為相應(yīng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的物理參數(shù)如下：參數(shù)初始估計(jì)值=1，其中4 =4，c2為幅值2rad、頻率1hz的方波。

選擇時(shí)，方案2當(dāng)參數(shù)估計(jì)域s為時(shí)，128矣久矣18，魯棒自適應(yīng)控制兩種方案系統(tǒng)均是穩(wěn)定的。

2/+逝駑駕-瀘-（a）關(guān)軌跡盆￠）⑴（b）估汁參數(shù)0常規(guī)a適應(yīng)控制算法的仿真結(jié)果干擾條件下不同魯棒自適應(yīng)算法仿真結(jié)果比較——方案1――方案2（b>參數(shù)估汁值的函數(shù)satg（->在考慮有限關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩和機(jī)器人參數(shù)不確定的條件下，本文提出新的魯棒自適應(yīng)控制算法。當(dāng)參數(shù)估計(jì)域包含真實(shí)參數(shù)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)空間軌跡的漸近跟蹤；當(dāng)參數(shù)估計(jì)域不包含真實(shí)參數(shù)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍然是有界穩(wěn)定的。與投影算法相比較，本文的算法簡單易行，更具控制器設(shè)計(jì)的靈活性；同時(shí)本算法解決了干擾條件下自適應(yīng)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。所有這些在仿真算例中得到驗(yàn)證。